VIỆN TOÁN HỌC QUỐC TẾ. KÌ THI TUYỂN

VIỆN TOÁN HỌC QUỐC TẾ. KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN KHOA TOÁN
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG. NĂM HỌC 2015 - 2106
CHUYÊN TOÁN FIBONACCI. Đề thi môn : HÌNH HỌC
Ngày thi: 12/06/2015
Thời gian : 120 phút (không kể thời gian phát đề)
*Đề thi này gồm 01 trang có 03 bài.
---------------------------
ĐỀ THI CHÍNH THỨC.
Bài I: Cho đường tròn (O) tâm O bán kính OA cố định. Lấy một điểm D bất kì trên OA, qua D kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C. Trên tia AO lấy một điểm E sao cho tam giác ABE cân tại B. Tia BE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. Gọi H là trung điểm của đoạn AB. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AHO cắt đoạn BC tại hai điểm M và N sao cho M và N lần lượt nằm cùng phía với B và C qua AO. Hai đường thẳng AM và AN lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm P và Q( P và Q không trùng A). Đường thẳng PQ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF tại một điểm K (K nằm ngoài đường tròn (O) ). Gọi I là giao điểm của đoạn AF và đoạn PQ.
1. Chứng minh rằng : khi điểm D đi động trên đoạn OA thì đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF luôn đi qua một điểm cố định. Từ đó suy ra đường thẳng CK tiếp xúc với đường tròn (O)
2. Chứng minh rằng : I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CEF
3. Xác định vị trí của điểm D trên đoạn AO để tồn tại một đường tròn đi qua năm điểm A, E, I, C và M. Chứng minh rằng khi đó diện tích tứ giác ODHM lớn nhất.

Bài II: Cho tam giác ABC có các góc BAC, ABC và ACB đều là góc nhọn. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và AB. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tia CG cắt đường tròn (B) tâm B bán kính BG tại điểm thứ hai P, tia BG cắt đường tròn (C) tâm C bán kính CG tại điểm thứ hai Q. Đoạn PQ cắt đường tròn (B) và đường tròn (C) theo thứ tự tại D và E.
(D không trùng B, E không trùng C)
1. Chứng minh : bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.
2. Chứng minh : tam giác DEG là tam giác cân.

Bài III: Cho tam giác ABC có các góc BAC, ABC và ACB đều là góc nhọn có trực tâm H. Gọi D, E, F theo thứ tự là các điểm đối xứng của H qua AB, AC, BC.
1. Chứng minh rằng : Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trùng nhau.
2. Đoạn DE cắt cạnh AB và cạnh AC lần lượt tại M và N, đoạn DF cắt cạnh AB và cạnh BC lần lượt tại P và Q, đoạn EF cắt cạnh AC và cạnh BC lần lượt lần lượt tại I và K. Xác định giá trị lớn nhất của biểu thức :
AM. BP. CI
____ + ___ + ___
AN. BQ. CK
Tính số đo các góc của tam giác ABC khi biểu thức trên đạt giá trị lớn nhất.
3. Chứng minh rằng : các đường thẳng MK, NQ và PI đồng qui.

-----------HẾT----------

Kết quả (Anh) 1:

INTERNATIONAL MATHEMATICAL INSTITUTE. ENTRANCE EXAM grade 10 MATH SPECIALISTSECONDARY SCHOOL. The YEAR 2015-2106 FIBONACCI MATHEMATICS. Exam subjects: geometry Date: 12/06/2015 Duration: 120 minutes (excluding the time issue) * Exam comprises 7 pages with 10 items. --------------------------- OFFICIAL EXAMINATIONS. Main article: For the circle (O) O fixed focal RADIUS OA. Grab a point D any on OA, through D guys straight line perpendicular to the cutting circle (O) OA at the two points B and C On the ray POND taking a point E such that the triangle ABE weight in b. Tia BE cut a circle (O) at the second point F. H is the midpoint of segment AB. Road circle triangle cut the score at two B.C. AHO M and N such that M and N is the same turn with B and C over the POND. Two straight lines AM and turn the cutting circle (O) at the points P and Q (P and Q do not match A). Straight line PQ cut circle triangle CEF at one point K (K is outside the circle (O)). Call I is the intersection of the AF segments and segment PQ. 1. Prove that: when a D go on the Circle line OA piece triangle CEF always go through a fixed point. From previous straight line CK exposed a circle (O) 2. Demonstrate that: I is the center of the InCircle triangle CEF 3. Determine the position of the point D on the pond to survive a circle passing through the five points of A, E, I, C, and d. proved that when it ODHM largest quadrangle area. Article II: For triangle ABC has the angle BAC, ABC and ACB are sharp corner. Call M and N in turn is the midpoint of AC and AB. Calling G is at the heart of the triangle ABC. Ray CG cut circle (B) B RADIUS Center BG at the second point P, BG cut circle (C) mind C RADIUS CG in the second point Q PQ period cut circle circle (B) and (C) the order in D and E.(D does not coincide at B, E not C) 1. Proof: four-point M, N, P, Q, together in a circle. 2. Proof: equilateral triangle isosceles triangle is the DEG. Article III: For triangle ABC has the angle BAC, ABC and ACB are sharp corner has the users mind h. Call D, E, F in the same order as the point symmetry of H through AB, AC, BC. 1. Prove that: mind the road circle triangle DEF and the center line circle triangle ABC are the same. 2. Paragraph DE cutting edge AB and AC respectively edge in M and N, the cutting edge and the edge AB BC DF turn at P and Q, the AC and the edge cutting edge EF BC turn turn in I and K. Determine the maximum value of the expression: Am. CI BP. ____ + ___ + ___ AN. BQ. CK Calculate the measure of the angles of the triangle ABC when the expression on reaching the maximum value. 3. Demonstrate that: the straight line MK, NQ and PI Dong qui. -----------HẾT----------

Kết quả (Anh) 2:

INSTITUTE OF INTERNATIONAL MATHEMATICS. Entrance exam GRADE 10 ACCOUNTING SPECIALIST
SCHOOL HIGH SCHOOL. ACADEMIC YEAR 2015 - 2106
ACCOUNTING SPECIALIST Fibonacci. Recommended exam: Geometry
Exam Date: 06/12/2015
Time: 120 minutes (excluding the time for development issues)
* The examination consists of 01 pages with 03 articles.
------------ ---------------
OFFICIAL TEST SESSION.
Last I: Let the circle (O) O mind fixed radius OA. Get a D any point on OA, through D line up perpendicular to cut OA circle (O) at two points B and C. On the rays AO took a point E so that the balance in the triangle ABE BE Tia B. Cutting circle (O) in the second point F. Call H is the midpoint of segment AB. Circle of a triangle AHO cut BC at two points M and N such that M and N respectively located on the same side with the B and C through the AO. Two lines AM and AN respectively cut circle (O) at the point P and Q (P and Q are not identical A). PQ straight line cutting the circle of a triangle CEF at a point K (K is outside the circle (O)). I call the intersection of AF segments and segment PQ.
1. Prove that the point D goes on, the circle segment OA of a triangle CEF always passing a fixed point. It follows a straight line CK contact with the circle (O)
2. Prove that: I was interested incircles triangle CEF
3. Locate the point D on the segment AO to survive a circle passing through five points A, E, I, C and M. Prove that while the area's largest ODHM quadrangle. Last II: Let the triangle ABC angles BAC, ABC and ACB are sharp angle. Call M and N respectively midpoint of AC and AB. Call G is the focus of the triangle ABC. Tia CG cut circles (B) B radius center at the second point P BG, BG rays cut the circle (C) CG at center C radius Q. The second point PQ cut circles (B) and circles ( C) in order D and E. (D does not coincide B, E do not coincide C) 1. Proof: four points M, N, P, Q and of a circle. 2. Proof: the triangle is isosceles triangle DEG. Last III: Given a triangle ABC with the angles BAC, ABC and ACB are sharp corners have orthocentre H. Let D, E, F in the order is the symmetrical point of H through AB, AC, BC. 1. Prove that circles the center of a triangle DEF and the circle center of a triangle ABC overlap. 2. DE cutting edge segments AB and AC respectively edges in M and N, paragraph DF cutting edge AB and BC respectively edge at P and Q, EF cutting edge segments AC and BC next turn at the first turn and K. Valuation maximum value of the expression: AM. BP. CI + ___ ___ ____ + AN. BQ. CK Count measure the angles of the triangle ABC as the expression reaches the maximum value. 3. Prove that the straight line MK, NQ and PI concurrent. ----------- ---------- END